2020年军队文职数学1中一元函数相关考试范围及内容

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　　函数、极限和连续

　　主要测查应试者对极限理论和函数连续性理论的掌握程度。要求应试者理解集合、函数、数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量、函数的连续性、函数的间断点等概念;掌握函数的特性(有界性、单调性、周期性和奇偶性)、特殊的函数(反函数、复合函数、分段函数)、基本初等函数的性质、数列极限的性质和四则运算法则、函数极限的性质和四则运算法则、极限存在的两个重要准则、两个重要极限、无穷小的阶和无穷小的比较、连续函数的性质、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质等基本理论和基本方法。

　　本章内容主要包括函数、极限、连续 。

　　第一节 函数

　　一、函数的概念

　　集合;邻域;集合的运算;映射;逆映射;复合映射;函数;函数的表示法;几个特殊函数;分段函数。

　　二、函数的特性

　　单调性;奇偶性;有界性;周期性。

　　三、函数的运算

　　函数的四则运算;反函数;反函数的图像;复合函数。

　　四、基本初等函数与初等函数

　　幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数;初等函数。

　　第二节 极限

　　一、数列极限的概念

　　数列;数列极限;数列极限的几何意义。

　　二、数列极限的性质与运算

　　唯一性;有界性;保号性;四则运算法则;收敛数列与其子数列的关系。

　　三、函数极限的概念

　　函数的极限;单侧极限及其与极限的关系;函数极限的几何意义。

　　四、函数极限的性质与运算

　　四则运算法则;函数极限的性质;复合函数求极限法则。

　　五、无穷小量与无穷大量

　　无穷小量与无穷大量;无穷小量与无穷大量的关系;无穷小量的性质及四则运算;无穷小量的阶;高阶、同阶、等价无穷小量。

　　六、极限存在准则与两个重要极限

　　夹逼定理;单调有界收敛准则;柯西(Cauchy)极限存在准则;两个重要极限。

　　第三节 连续

　　一、函数连续的概念

　　函数在一点处连续;左连续与右连续;函数在一点处连续的充分必要条件;连续函数;函数的间断点及其分类;连续函数的四则运算;复合函数的连续性;反函数的连续性;初等函数的连续性。

　　二、闭区间上连续函数的性质

　　有界性定理;最值定理;零点定理;介值定理。

　　一元函数微分学

　　主要测查应试者对一元函数的微分学理论的掌握程度。要求应试者理解一元函数的导数、微分、高阶导数、隐函数、一阶微分的形式不变性、平面曲线的切线和法线、函数极值、最值、曲线的凹凸性、拐点、曲率等概念;掌握函数的可导性与连续性之间的关系、导数与微分的几何意义、基本初等函数的求导公式、导数和微分的四则运算、反函数与复合函数的求导法则、隐函数以及参数方程所确定的函数的求导法则、求高阶导数的莱布尼兹公式、微分学中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)、微分中值定理的应用(函数单调性和凹凸性的判定、函数极值、函数最值、渐近线、函数图形)、洛必达法则、函数的泰勒公式、曲率半径等基本理论和基本方法;了解函数的相关变化率、曲率圆的概念和利用泰勒公式求函数近似值、误差估计。

　　本章内容主要包括导数与微分、微分中值定理及导数的应用。

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　　第一节 导数与微分

　　一、导数概念

　　导数的定义;左导数与右导数;函数在一点处可导的充分必要条件;导数的几何意义与物理意义;可导与连续的关系;导函数;高阶导数。

　　二、导数基本公式与求导法则

　　基本初等函数的导数公式;导数的四则运算法则;反函数的求导法则;复合函数的求导法则;由方程确定的隐函数的导数;由参数方程确定的函数的导数，左右导数;对数求导法等。

　　三、高阶导数

　　求高阶导数的莱布尼兹公式;直接、间接求高阶导数的方法。

　　四、微分的概念

　　微分;微分的几何意义;微分与导数的关系;微分运算法则;一阶微分形式的不变性;

　　微分在近似计算中的应用。

　　五、曲率

　　弧微分;曲率的概念与计算;曲率半径与曲率圆。

　　第二节 微分中值定理及导数的应用

　　一、微分中值定理

　　费马引理;罗尔定理;拉格朗日中值定理;柯西中值定理。

　　二、洛必达法则

　　未定式的极限;洛必达法则。

　　三、泰勒公式

　　泰勒中值定理;泰勒公式;麦克劳林公式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项。

　　四、导数的应用

　　函数单调性的判定法;曲线的凹凸性;极大值和极小值;函数最值的求法;拐点;渐近

　　线;函数图形的描绘。

　　五、曲率

　　弧微分;曲率;曲率半径;曲率圆。

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